Sinaıˇ's condition for real valued Lévy processes

We prove that the upward ladder height subordinator H associated to a real valued Lévy process ξ has Laplace exponent φ that varies regularly at ∞ (respectively, at 0) if and only if the underlying Lévy process ξ satisfies Sinaıˇ's condition at 0 (respectively, at ∞). Sinaıˇ's condition for real valued Lévy processes is the continuous time analogue of Sinaıˇ's condition for random walks. We provide several criteria in terms of the characteristics of ξ to determine whether or not it satisfies Sinaıˇ's condition. Some of these criteria are deduced from tail estimates of the Lévy measure of H, here obtained, and which are analogous to the estimates of the tail distribution of the ladder height random variable of a random walk which are due to Veraverbeke and Grübel.

RésuméNous montrons que l'exposant de Laplace du subordinateur d'échelle H, associé à un processus de Lévy ξ, à valeurs réelles, est à variation régulière à l'infini (respectivement, en 0) si et seulement si le processus de Lévy sous-jacent vérifie la condition de Sinaıˇ en 0 (respectivement, en +∞). Cette dernière est l'analogue pour les processus de Lévy de la condition de Sinaıˇ pour les marches aléatoires. Nous obtenons des estimations de la mesure de Lévy de H qui nous permettent d'établir des critères, en termes des caractéristiques de ξ, pour déterminer quand celui-ci vérifie la condition de Sinaıˇ. Certaines de ces estimations sont l'analogue de celles obtenues par Veraverbeke et Grübel pour la queue de la fonction de répartition de la variable aléatoire d'échelle d'une marche aléatoire.