Some results concerning maximum Rényi entropy distributions

We consider the Student-t and Student-r distributions, which maximise Rényi entropy under a covariance condition. We show that they have information-theoretic properties which mirror those of the Gaussian distributions, which maximise Shannon entropy under the same condition. We introduce a convolution which preserves the Rényi maximising family, and show that the Rényi maximisers are the case of equality in a version of the Entropy Power Inequality. Further, we show that the Rényi maximisers satisfy a version of the heat equation, motivating the definition of a generalised Fisher information.

RésuméNous considérons les distributions de types Student-t et Student-r qui maximisent l'entropie de Rényi sous contrainte de covariance. Nous montrons qu'elles possèdent des propriétés informationnelles similaires à celles des distributions Gaussiennes, lesquelles maximisent l'entropie de Shannon sous la même contrainte. Nous montrons que ces distributions sont stables pour un certain type de convolution et qu'elles saturent une inégalité de la puissance entropique. De plus nous montrons que les lois à entropie de Rényi maximale vérifient une équation de la chaleur, ce qui permet de définir une information de Fisher généralisée.