The empirical distribution of the eigenvalues of a Gram matrix with a given variance profile

Consider a N×nN×n random matrix Yn=(Yijn) where the entries are given by Yijn=σ(i/N,j/n)nXijn, the Xijn being centered i.i.d. and σ:[0,1]2→R being a function whose square is continuous and called a variance profile. Consider now a deterministic N×nN×n matrix Λn=(Λijn) whose off-diagonal entries are zero. Denote by ΣnΣn the non-centered matrix Yn+ΛnYn+Λn and by N∧n=min(N,n)N∧n=min(N,n). Then under the assumption that limn→∞Nn=c>0 and1N∧n∑i=1N∧nδ(iN∧n,(Λiin)2)→n→∞H(dx,dλ), where H   is a probability measure, it is proved that the empirical distribution of the eigenvalues of ΣnΣnT converges almost surely to a non-random probability measure. This measure is characterized in terms of its Stieltjes transform, which is obtained with the help of an auxiliary system of equations. This kind of results is of interest in the field of wireless communication.

RésuméSoit Yn=(Yijn) une matrice N×nN×n dont les entrées sont données par Yijn=σ(i/N,j/n)nXijn, les Xijn étant des variables aléatoires centrées, i.i.d. et où σ:[0,1]2→R est une fonction de carré continu qu'on appelera profil de variance. Considérons une matrice déterministe Λn=(Λijn) de dimensions N×nN×n dont les éléments non diagonaux sont nuls. Appelons ΣnΣn la matrice non centrée définie par Σn=Yn+ΛnΣn=Yn+Λn et notons N∧n=min(N,n)N∧n=min(N,n). Sous les hypothèses que limn→∞Nn=c>0 et que1N∧n∑i=1N∧nδ(iN∧n,(Λiin)2)→n→∞H(dx,dλ), où H   est une probabilité, on démontre que la mesure empirique des valeurs propres de ΣnΣnT converge presque sûrement vers une mesure de probabilité déterministe. Cette mesure est caractérisée par sa transformée de Stieltjes, qui s'obtient à l'aide d'un système auxiliaire d'équations. Ce type de résultats présente un intérêt dans le domaine des communications numériques sans fil.