Diffusions in random environment and ballistic behavior

In this article we investigate the ballistic behavior of diffusions in random environment. We introduce conditions in the spirit of (T) and (T′) of the discrete setting, cf. [A.-S. Sznitman, On a class of transient random walks in random environment, Ann. Probab. 29 (2) (2001) 723–764; A.-S. Sznitman, An effective criterion for ballistic behavior of random walks in random environment, Probab. Theory Related Fields 122 (4) (2002) 509–544], that imply, when d⩾2, a law of large numbers with non-vanishing limiting velocity (which we refer to as ‘ballistic behavior’) and a central limit theorem with non-degenerate covariance matrix. As an application of our results, we consider the class of diffusions where the diffusion matrix is the identity, and give a concrete criterion on the drift term under which the diffusion in random environment exhibits ballistic behavior. This criterion provides examples of diffusions in random environment with ballistic behavior, beyond what was previously known.

RésuméOn étudie dans cet article le comportement balistique de diffusions en milieu aléatoire. On montre que certaines conditions (T) et (T′), d'abord introduites dans le cadre discret, cf. [A.-S. Sznitman, On a class of transient random walks in random environment, Ann. Probab. 29 (2) (2001) 723–764 ; A.-S. Sznitman, An effective criterion for ballistic behavior of random walks in random environment, Probab. Theory Related Fields 122 (4) (2002) 509–544], entraînent en dimension supérieure une loi des grands nombres avec une vitesse limite non nulle (ce qu'on appelle « comportement balistique »), et un théorème limite central avec une matrice de covariance non dégénérée. Pour illustrer ces résultats, on considère la classe de diffusions où la matrice de diffusion est l'identité, et on donne un critère concret sur la dérive qui entraîne le comportement balistique de la diffusion en milieu aléatoire. Ce critère fournit de nouveaux exemples de diffusions en milieu aléatoire avec comportement balistique.