Minimal cyclic random motion in Rn and hyper-Bessel functions

We obtain the explicit distribution of the position of a particle performing a cyclic, minimal, random motion with constant velocity c in Rn. The n+1 possible directions of motion as well as the support of the distribution form a regular hyperpolyhedron (the first one having constant sides and the other expanding with time t), the geometrical features of which are here investigated.The distribution is obtained by using order statistics and is expressed in terms of hyper-Bessel functions of order n+1. These distributions are proved to be connected with (n+1)th order p.d.e. which can be reduced to Bessel equations of higher order.Some properties of the distributions obtained are examined. This research has been inspired by a conjecture formulated in Orsingher and Sommella [E. Orsingher, A.M. Sommella, A cyclic random motion in R3 with four directions and finite velocity, Stochastics Stochastics Rep. 76 (2) (2004) 113–133] which is here proved to be false.

RésuméDans ce travail, on étudie l'évolution dans l'espace Rn d'une particule animée d'un mouvement aléatoire cyclique à vitesse constante. Le mouvement est supposé minimal au sens où les différentes directions prises sont au nombre de n+1 ; de plus, ces directions forment un hyper-polyèdre régulier fixe. Le support de la distribution de la position de la particule est également un hyper-polyèdre régulier (de taille évolutive au cours du temps).Faisant appel aux statistiques d'ordre, on a pu obtenir explicitement la loi de probabilité de la position de la particule à un instant donné. Le résultat s'exprime au moyen de fonctions de Bessel généralisées d'ordre n+1 et montre que cette étude est liée à des équations aux dérivées partielles hyperboliques d'ordre n+1.Ce travail a été inspiré par une conjecture formulée par Orsingher et Sommella [E. Orsingher, A.M. Sommella, A cyclic random motion in R3 with four directions and finite velocity, Stochastics Stochastics Rep. 76 (2) (2004) 113–133], laquelle se révèle finalement être fausse.