On diffusivity of a tagged particle in asymmetric zero-range dynamics

Consider a distinguished, or tagged particle in zero-range dynamics on Zd with rate g whose finite-range jump probabilities p possess a drift ∑jp(j)≠0. We show, in equilibrium, that the variance of the tagged particle position at time t is at least order t in all d⩾1, and at most order t in d=1 and d⩾3 for a wide class of rates g. Also, in d=1, when the jump distribution p is totally asymmetric and nearest-neighbor, and the rate g(k) increases, and g(k)/k either decreases or increases with k, we show the diffusively scaled centered tagged particle position converges to a Brownian motion with a homogenized diffusion coefficient in the sense of finite-dimensional distributions. Some characterizations of the tagged particle variance are also given.

RésuméOn considère « une particule marquée » pour des processus de zero-range sur Zd avec un taux g dont la probabilité de saut p est à portée finie, et possède une dérive ∑jp(j)≠0. On montre qu'à l'équilibre la variance de la position de la particule marquée à l'instant t pour tout d⩾1 est au plus d'ordre t si d=1 et d⩾3 pour une large classe de taux g. Ensuite, pour le cas d=1, en supposant que la probabilité de saut p est à plus proche voisin et totalement asymétrique, que le taux g(k) est croissant, et que g(k)/k est soit croissant soit décroissant avec k, on montre que dans le cas d'approximations par diffusion la position centrée de la particule marquée converge vers un mouvement Brownien avec des coefficients de diffusion homogènes (au sens des distributions finies). Quelques caractérisations de la variance de la particule marquée sont aussi présentées.