The Martin entrance boundary of the Galton–Watson process

The paper provides a complete description of the Martin entrance boundary and its minimal elements for a Galton–Watson process (Zn)n⩾0. Since this is easily done and known for critical processes, we deal with the noncritical case which in turn can be reduced to the subcritical one. The Martin entrance boundary consists of all quasi-invariant Radon measures. The minimal Martin entrance boundary is isomorphic to [0,1) as a torus. Every element of the minimal Martin entrance boundary is uniquely identified through its generating function. These minimal quasi-invariant measures are the extremals in the simplex of quasi-invariant Radon measures. We provide explicitly the Martin topology in the set of potentials. All this is done via the Martin kernel approach and under no additional assumption on (Zn)n⩾0. In particular, we do not require the (LlogL)-condition EZ1logZ1<∞.

RésuméCet article fournit une description complète de la frontière d'entrée de Martin et de ses éléments minimaux pour un processus de Galton–Watson (Zn)n⩾0. Comme ceci est facilement fait et bien connu pour des processus critiques, nous traitons seulement le cas non-critique qui peut à son tour être réduit au cas sous-critique. La frontière d'entrée de Martin consiste en toutes les mesures de Radon quasi-invariantes, et la frontière d'entrée minimale est isomorphe à l'intervalle [0,1) considéré comme un cercle. Chaque élément de la frontière d'entrée minimale est uniquement identifié par sa fonction génératrice. Ces mesures minimales et quasi-invariantes sont les éléments extrêmes du simplexe des mesures de Radon quasi-invariantes. Nous déterminons explicitement la topologie de Martin dans l'ensemble des potentiels. Notre démarche est basée sur les noyaux de Martin et n'utilise pas d'hypothèses supplémentaires sur (Zn)n⩾0. En particulier, nous n'utilisons pas la condition (LlogL) EZ1logZ1<∞.