A note on regularity for free convolutions

Let μ⊞ν and μ⊠ν denote the free additive convolution and the free multiplicative convolution, respectively, of the Borel probability measures μ and ν. We analyze the boundary behavior of the functions and . We prove that, under certain conditions, these functions extend continuously to the boundary of their natural domains as functions with values in the extended complex plane C∪{∞}. As a consequence, we obtain that μ⊞ν (respectively μ⊠ν) can never be purely singular, unless μ or ν is concentrated in one point.

RésuméSoit μ⊞ν et μ⊠ν la convolution additive libre et, respectivement, la convolution multiplicative libre des mesures boréliennes de probabilité μ et ν. Nous étudions le comportement à la frontière des fonctions et . Nous démontrons que, dans certaines conditions, ces fonctions peuvent être prolongées à la frontière de leurs domaines naturels de définition, comme fonctions continues prenant des valeurs dans la compactification C∪{∞} du plan complexe C. Une conséquence de ce fait est que μ⊞ν (et, respectivement, μ⊠ν) peut être purement singulière seulement si μ ou ν est concentrée en un point.