Mesures quasi-Bernoulli au sens faible : résultats et exemples

RésuméOn introduit une nouvelle condition d'homogénéité (quasi-Bernoulli au sens faible) sur les mesures sous laquelle le formalisme multifractal fonctionne. Cette condition englobe le cas classique où la mesure est quasi-Bernoulli et permet donc de raffiner les résultats obtenus successivement par Michon, Brown, Peyrière et Heurteaux. On met ensuite en évidence certaines mesures autosimilaires qui ne satisfont pas les conditions classiques de séparation, non quasi-Bernoulli mais qui vérifient la condition mentionnée auparavant. Ces mesures interviennent par exemple lors de l'analyse de certains graphes autoaffines déjà étudiés par McMullen, Przytycki et Urbański, Kenyon et Peres.

We introduce a new homogeneity condition (weak quasi-Bernoulli) to the measures under which the multifractal formalism holds. This condition includes the well known case where the measure is quasi-Bernoulli and thus we can precise the results obtained successively by Michon, Brown, Peyrière and Heurteaux. Then, we highlight some self similar measures with overlaps which are not quasi-Bernoulli but satisfy the condition mentioned above. Moreover, we show how these measures can be used to analyse some self affine graphs studied before by McMullen, Przytycki and Urbański, Kenyon and Peres.