Hydrodynamic limit for perturbation of a hyperbolic equilibrium point in two-component systems

We consider one-dimensional, locally finite interacting particle systems with two conservation laws. The models have a family of stationary measures with product structure and we assume the existence of a uniform bound on the inverse of the spectral gap which is quadratic in the size of the system. Under Eulerian scaling the hydrodynamic limit for the macroscopic density profiles leads to a two-component system of conservation laws. The resulting pde is hyperbolic inside the physical domain of the macroscopic densities, with possible loss of hyperbolicity at the boundary.We investigate the propagation of small perturbations around a hyperbolic equilibrium point. We prove that the perturbations essentially evolve according to two decoupled Burgers equations. The scaling is not Eulerian: if the lattice constant is n−1, the perturbations are of order n−β then time is speeded up by n1+β. Our derivation holds for . The proof relies on Yau's relative entropy method, thus it applies only in the regime of smooth solutions.This result is an extension of [T. Seppäläinen, Perturbation of the equilibrium for a totally asymmetric stick process in one dimension, Ann. Probab. 29 (2001) 176–204] and [B. Tóth, B. Valkó, Between equilibrium fluctuations and Eulerian scaling. Perturbation of equilibrium for a class of deposition models, J. Statist. Phys. 109 (2002) 177–205] where the analogue result was proved for systems with one conservation law. It also complements [B. Tóth, B. Valkó, Perturbation of singular equilibria of hyperbolic two-component systems: a universal hydrodynamic limit, Commun. Math. Phys. 256 (2005) 111–157] where it was shown that perturbations around a nonhyperbolic boundary equilibrium point are driven by a universal two-by-two system of conservation laws.

RésuméNous considérons un système localement fini de particules interagissantes à deux lois de conservation en une dimension. Les modèles possédent une famille de mesures stationnaires de structure produit et nous supposons qu'il existe une borne uniforme pour l'inverse du trou spectral qui est quadratique en la taille du système. La limite hydrodynamique pour le profil de densité microscopique mène à un système de lois de conservation à deux composantes. L'EDP obtenue est hyperbolique à l'intérieur du domaine physique des densités macroscopiques avec perte éventuelle de l'hyperbolicité à la frontière.Nous étudions la propagation de petites perturbations autour d'un point d'équilibre hyperbolique. Nous démontrons que les perturbations évoluent essentiellement selon deux équations de Burgers découplées. L'échelle n'est pas eulerienne : si la constante du treillis est n−1 et les perturbations sont d'ordre n−β, alors le temps est accéléré par un facteur n1+β. Notre dérivation est valable pour . La preuve s'appuie et non pas sáffmie sur la méthode d'entropie relative de Yau, et s'applique donc seulement au régime des solutions lisses.Ce résultat est une extension de [T. Seppäläinen, Perturbation of the equilibrium for a totally asymmetric stick process in one dimension, Ann. Probab. 29 (2001) 176–204] et [B. Tóth, B. Valkó, Between equilibrium fluctuations and Eulerian scaling. Perturbation of equilibrium for a class of deposition models, J. Statist. Phys. 109 (2002) 177–205] où un résultat analogue a été démontré pour des systèmes à une loi de conservation. Il complète également [B. Tóth, B. Valkó, Perturbation of singular equilibria of hyperbolic two-component systems: a universal hydrodynamic limit, Commun. Math. Phys. 256 (2005) 111–157] où il est montré que les perturbations autour d'un point d'équilibre frontière non-hyperbolique sont conduites par un système universel de lois de conservations.