Ergodicity for the stochastic Complex Ginzburg–Landau equations

We study a stochastic Complex Ginzburg–Landau (CGL) equation driven by a smooth noise in space and we establish exponential convergence of the Markov transition semi-group toward a unique invariant probability measure. Since Doob Theorem does not seem not to be useful in our situation, a coupling method is used. In order to make this method easier to understand, we first focus on two simple examples which contain most of the arguments and the essential difficulties.

RésuméNous considérons l'équation de Ginzburg–Landau complexe bruitée par un bruit blanc en temps et régulier par rapport aux variables spatiales et nous établissons le caractère exponentiellement mélangeant du semi-groupe de Markov vers une unique mesure de probabilité invariante. Comme le Théorème de Doob semble ne pas pouvoir être appliqué, nous utilisons une méthode de couplage. Pour une meilleur compréhension, nous focaliserons d'abord notre attention sur deux exemples qui bien que très simples contiennent l'essentiel des difficultés.