Stochastic calculus and martingales on trees

Considérant que les arbres sont des exemples simples d'espaces métriques singuliers, nous développons un calcul stochastique pour les processus à valeurs dans les arbres. Nous étudions successivement les processus continus et avec sauts, et définissons les notions de semimartingales et martingales. Nous montrons que les martingales de classe (D) convergent presque sûrement quand le temps tend vers l'infini, et établissons sur certains espaces de probabilité l'existence et l'unicité d'une martingale de classe (D) avec limite intégrable fixée ; pour cela, nous utilisons soit une méthode de couplage, soit une méthode d'énergie. Ce problème a des liens avec les applications harmoniques à valeurs dans les arbres, et avec le semi-groupe de la chaleur pour les applications à valeurs dans les arbres.