Spectral discretization of the axisymmetric vorticity, velocity and pressure formulation of the Navier–Stokes problem

We deal in this work with the nonlinear Navier–Stokes equations set in a three-dimensional axisymmetric bounded domain. The boundary conditions that we consider are given on the normal component of the velocity and the tangential component of the vorticity. Such conditions occur in a large number of flows and we are led to write a vorticity–velocity–pressure formulation. Under assumptions on the data of the problem, the three-dimensional problem is reduced in a two-dimensional one. For the discretization, we use the spectral methods which are well-adapted here. We prove the well-posedness of the obtained formulations and we derive optimal error estimates on the three unknowns. The results of the numerical experiments for known functions and a given data corresponding to a Poiseuille type flow are coherent with the theoretical ones.

RésuméNous considérons les équations de Navier-Stokes posées dans un domaine tridimensionnel axisymétrique. Les conditions aux limites qu’on traite sont données sur la composante normale de la vitesse et la composante tangentielle du tourbillon. On trouve ce genre de conditions dans différents types d’écoulements. On écrit donc la formulation tourbillon- vitesse-pression. Quand la donnée du problème est axisymétrique, il est réduit à un problème bidimensionnel. Pour la discrétisation, on utilise les méthodes spectrales qui s’adaptent bien à cette formulation. On montre que les problèmes obtenus sont bien posés et on aboutit à des majorations optimales d’erreur pour les trois inconnues. Les résultats des expériences numériques pour des fonctions déterminées et pour une donnée relative à un écoulement de type Poiseuille sont cohérents avec les résultats théoriques.